Решение уравнений с квадратным корнем - Решение уравнений с квадратным корнем

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия [1]:. Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице [1].

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего либо второй коэффициент, либо свободный член , равен нулю. Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения [1]. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще.

Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:. Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте около г. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

Решение квадратных уравнений, формула корней, примеры

Изложенный метод универсален, однако он далеко не единственный. К решению одного уравнения можно подойти различными способами, предпочтения обычно зависят от самого решающего. Кроме того, часто для этого некоторый из способов оказывается значительно более элегантным, простым, менее трудоёмким, чем стандартный. К решению неполных квадратных уравнений следует подходить по-особому. Рассмотрим три возможных ситуации.

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Квадратное уравнение — Википедия

Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня в том числе, два совпадающих:. Используем геометрическую модель корней квадратного уравнения: Это означает, что отрезок всякой перпендикулярной к ней прямой, отсекаемый на ней параболой, делится осью симметрии пополам. Сказанное, в частности, верно и для оси абсцисс. Таким образом, для всякой параболы справедливо одно из следующих равенств: Во втором случае,совершив аналогичные преобразования, придём к тому же результату, ч.

При любых значениях коэффициентов уравнение имеет хотя бы один корень: Пользуясь данным выше определением корня квадратного уравнения, обнаруживаем путём подстановки, что число 1 является таковым в рассматриваемом случае: Далее, по теореме Виета находим второй корень: Отметим, что квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:.

Этот факт не просто совпадение: Прямая теорема Виета см. Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:. Он заключается в следующем:. Если мы попробуем разделить обе его части на 8, то получим приведённое уравнение с дробными коэффициентами, поэтому применить к нему теорему будет трудно. Однако, воспользовавшись методом переброски, мы сумеем получить приведённое с целыми коэффициентами:.

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями корнями квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке в вершине параболы , уравнение имеет один вещественный корень также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня. Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня см.

Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой. Этот метод имеет границу применимости: Описанные выше методы графического решения имеют существенные недостатки: Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.

Рассматриваемый способ предполагает построение окружности, пересекающей ось ординат в точках точке , абсциссы которых являются корнями или корнем решаемого уравнения. Как нужно строить такую окружность? Предположим, что она уже построена. Окружность определяется однозначно заданием трёх своих точек. Найдём координаты центра такой окружности.

Преобразовывая это выражение, получаем величину отрезка OD, которой и определяется искомая ордината точки D: Пускай S - центр окружности, имеющей с осью абсцисс две общие точки. Найдём координаты середин названных отрезков. Следовательно, абсцисса точки S равна этому числу.

В случае же, если уравнение имеет один корень, то ось x является касательной по отношению к окружности,поэтому, согласно её свойству, её радиус перпендикулярен оси, следовательно, и в этом случае указанное число - абсцисса центра.

Её ординату найдём так: Итак, нами найдены необходимые для построения данные. Причём, если длина радиуса больше длины перпендикуляра к оси Ox, то уравнение имеет два корня предположив обратное, мы бы получили противоречие с доказанным выше , если длины равны, то один по той же причине , если же длина радиуса меньше длины перпендикуляра, то окружность не имеет общих точек с осью x, следовательно, и действительных корней у уравнения нет доказывается тоже от противного: В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле 1 и указанным выше её вариантам, но различимыми являются только два случая: В этом случае формула для корней 1 упрощается до.

Ну, а под корнем, приятель, Сводится всё к пустяку: А под корнем очень кстати Половина p в квадрате Минус q — и вот решенья, То есть корни уравненья. Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:. В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности. Тогда, переписав это разложение, получим:. Такое уравнение называется биквадратным [3] [1]. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка.

Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока. Материал из Википедии — свободной энциклопедии.

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия [1]: Формулу можно получить следующим образом: Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня в том числе, два совпадающих: Однако, воспользовавшись методом переброски, мы сумеем получить приведённое с целыми коэффициентами: Очевидно, что его корнями будут числа -4 и 2.

Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники , подтверждающие написанное. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Алгебраические уравнения Элементарная математика Элементарная алгебра. Статьи со ссылками на Викиучебник Википедия: Ссылка на Викиучебник непосредственно в статье Википедия: Статьи без ссылок на источники Википедия: Статьи без источников объекты менее указанного лимита: Стилистически некорректные статьи Википедия: Статьи к доработке по математике.

Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. В других проектах Викисклад. Эта страница последний раз была отредактирована 20 марта в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия. Квадратное уравнение в Викиучебнике. Квадратное уравнение на Викискладе.

Смотрите также:
  1. Сообщить об ошибке Ошибка в задаче Ошибка в теории Прочие ошибки. Квадратное уравнение с корнем - Алгебра Как решать иррациональные уравнения.

  2. После получения необходимой практики, решения подобных уравнений можно записывать кратко:

Написать комментарий

:D:-):(:o8O:?8):lol::x:P:oops::cry::evil::twisted::roll::wink::!::?::idea::arrow: